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Colloque
Nous présentons les aspects fondamentaux de la théorie générale du déploiement universel des germes de fonctions numériques en vue de la classification des catastrophes élémentaires dans R5. Essentiellement, nous établissons un théorème qui permet d'obtenir la liste des déformations universelles pour lesquelles la stabilité est une propriété générique.
Colloque
On appelle transformée de Legendre d'une fonction numérique f, l'ensemble Lf défini par l'équation de la famille des hyperplans tangents au graphe de f; en général, Lf est une "hypersurface à singularités". L'introduction d'une notion de L-équivalence et de L-stabilité pour f nous permet, à l'aide de la théorie du déploiement universel, de classifier, pour presque tous les f∈C∞(Rn), n≤5, les morphologies locales de Lf.
Colloque
Il est impossible, à partir des seuls principes de la thermodynamique, de déterminer explicitement pour un système donné sa surface des états d'équilibre et, a fortiori, son diagramme de phase. Cependant, grâce à la théorie des déploiements universels, on peut a priori fournir, et cela sans un recours à la mécanique statistique, une classification des germes des fonctions énergétiques et caractériser ainsi qualitativement les systèmes thermodynamiques d'équilibre. En fait, les surfaces d'enveloppe libre ne sont autres que les transformées de Legendre des fonctions U. Nous pouvons ainsi caractériser sur leurs morphologies toutes les situations significatives présentées par ces systèmes: stabilité …
Colloque
Une sous-variété Lⁿ d'une variété symplectique (V²ⁿ, ω) est dite lagrangienne si la 2-forme i*ω induite par l'inclusion i: L → V est nulle. Les points critiques des fonctions différentiables sont étroitement reliés aux singularités des projections des variétés lagrangiennes. Nous montrerons comment, à partir de la théorie des déploiements universels, classifier les germes stables des variétés lagrangiennes. De tels résultats sont essentiels pour la plupart des applications de la théorie des catastrophes de R. Thom à la physique.
Colloque
Le modèle de Gibbs des processus quasi statiques de la thermodynamique classique se formule en termes des dynamiques gradientes. La théorie des catastrophes permet alors de classifier localement les morphologies des surfaces d'état, des ensembles de transition et les singularités des coefficients de réponse des systèmes de la thermodynamique des états d'équilibre.
Colloque
Les points catastrophes d'un système dynamique gradient défini sur une variété différentiable d'état M et contrôlé par R^n sont les c ∈ R^n tels que les fonctions potentielles V = V(c,m), V: C^∞(M), régissant la dynamique soient structurellement instables. À l'aide de la notion de déploiement universel et des techniques de transversalité sur les multi-jets, nous classifions localement les ensembles catastrophes de bifurcation et de conflit des dynamiques gradientes à une variable d'état.
Colloque
Une formule empirique pour l'étude des gaz réels tenant compte des écarts à la loi de Mariotte est fournie par un développement en série du facteur de compressibilité en fonction de la densité molaire : PV/RT = 1 + B(T)/V + C(T)/V^2 + ... Une étude topologico-différentielle de ce développement, dit expansion du viriel, est rendue possible par la théorie des singularités des applications différentiables. Elle vient doubler d'un aspect qualitatif rigoureux, cognitivement indispensable, l'aspect quantitatif jusqu'ici seul considéré.
Colloque
Nous montrons que les caustiques de l'optique géométrique s'identifient aux ensembles catastrophes des dynamiques gradientes. La théorie des catastrophes permet non seulement de classifier les morphologies locales de ces caustiques, mais aussi de caractériser, pour les milieux isotropes et non-homogènes, les fronts d'onde versus ces morphologies archétypes.
Colloque
Les groupes de Hooke, qui sont au groupe de Galilée ce que sont les groupes de DeSitter au groupe de Poincaré, définissent des univers cosmologiques non-relativistes. La seule connaissance de l'algèbre de Lie de ces groupes permet de définir, pour ces univers, les quantités cinématiques fondamentales, les constantes du mouvement, etc. Les représentations unitaires projectives irréductibles de ces groupes classifient les systèmes élémentaires quantiques à symétries de Hooke. D'autre part, par l'emploi de méthodes analogues à celles de Dirac, nous pouvons déduire, par exemple, l'équation d'état hookienne des particules élémentaires de spin 1/2.
Colloque
Les dynamiques de type gradient fondent plusieurs domaines de la physique. La théorie des singularités des applications différentiables permet de classifier les ensembles catastrophes des systèmes gradients, c'est-à-dire les ensembles définis par les points de l'espace de contrôle de la dynamique pour lesquels elle présente une discontinuité d'état. Cette classification met en jeu un ensemble dense de fonctions potentielles, les bonnes fonctions. Celles-ci décrivent les processus qui se conforment aux dynamiques gradientes et qui sont stables dans le sens qu'ils sont reproductibles.
